On s’est beaucoup demandé pourquoi il y avait un mathématicien dans le fameux comité scientifique qui conseille le gouvernement.
En fait les mathématiques permettent de comprendre l’évolution chiffrée de l’événement épidémique.
On sait par exemple que les puissances de 2 croissent très vite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc., pour dépasser le milliard en à peine 30 étapes.
La croissance exponentielle
Ainsi, si le nombre de nouvelles infections dans une épidémie double tous les trois jours, la moitié des personnes infectées depuis le début de l’épidémie l’ont été depuis moins de trois jours. La fonction exponentielle a des aspects terrifiants.
Leonard Euler 1707-1783
Le premier scientifique qui a mis en évidence ce type de croissance est le mathématicien suisse Leonard Euler, en 1760, dans un article important intitulé « Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain ». En 1798, Thomas Malthus comprend que la croissance exponentielle est une menace pour l’humanité.
La croissance logistique
Heureusement, en 1840, le mathématicien belge Pierre-François Verhulst découvre la « croissance logistique », qui permet de comprendre pourquoi les exponentielles doivent finir par se calmer. Ses travaux furent complétés par le mathématicien italien Vito Volterra (1860-1940)
dans ses Leçons sur l’intégration des Équations Différentielles aux Dérivées Partielles.
L’application aux épidémies.
Dans une croissance purement exponentielle, le nombre de nouveaux cas de contamination est proportionnel au nombre de personnes contaminées. En formule, la dérivée y’ du nombre de cas y est proportionnelle à y, ce qui se traduit par une équation simple y’= ay, dont la solution exponentielle est y = exp (at). Le coefficient « a » dépend du nombre moyen de contacts que nous avons : plus il est grand et plus l’exponentielle explose rapidement.
Pourquoi le confinement est mathématiquement la solution ?*
Dans une croissance logistique, le nombre de nouveaux cas de contamination est proportionnel au nombre de personnes déjà contaminées, mais aussi au nombre de personnes contaminables, c’est-à-dire qui n’ont pas déjà été contaminées.
Heureusement, le nombre de personnes contaminables diminue (grâce au confinement) au fur et à mesure de l’épidémie, et l’évolution s’infléchit.
Traduit en formule mathématique on obtient y’= ay (1-y/b) où b désigne la population totale. Dans ce modèle, le nombre de nouveaux cas suit la courbe en cloche.
Une croissance exponentielle atteint un maximum, (le pic) et enfin amorce une décroissance.
Le seul paramètre sur lequel on peut agir est ce coefficient « a » qui est lié au nombre moyen de nos contacts.
Lorsqu’on diminue « a », la courbe garde la même allure, mais elle s’aplatit. Certes le pic arrive plus tard, mais il sera moins haut. L’épidémie dure plus longtemps, mais elle est moins meurtrière. Voilà pourquoi il faut rester chez soi ! Et voilà aussi pourquoi le confinement le plus strict est une bonne solution.
Jean-François Principiano
*sources Etienne Ghys (CNRS)
